Tema: Poliedros

POLIEDROS

 Los poliedros son cuerpos geométricos formados solo por caras planas. Todas sus caras son polígonos. Todas sus aristas son líneas rectas. como lo muestra la figura 1. 

 El término poliedro (en inglés: polyhedron) viene del griego ‘poli’ (muchos) y ‘edro’ (cara): “muchas caras”. En un poliedro podemos diferenciar diferentes elementos geométricos.

figura 1: poliedros

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LOS POLIEDROS

1. CARAS (faces). Son los polígonos que forman el poliedro. 

 Vamos a diferenciar dos tipos de caras en las familias de pirámides y prismas:

 - Bases. En las pirámides las caras que no son triángulos (salvo en la triangular), y en los prismas y antiprismas son las dos caras iguales que presenta dicho polígono (en los paralelepípedos pueden ser cualquier par de caras). También se llaman caras basales. 

- Caras laterales. En las pirámides son triángulos (salvo en los troncos de pirámide), en los prismas son cuadriláteros y en los antiprismas triángulos.

 * En el resto de poliedros, si se consideran las caras, se toman los polígonos en los que se “apoya” el poliedro. Normalmente son los polígonos de más de lados o mayor tamaño.

2. ARISTAS (edges). Se pueden definir como los lados de los polígonos que forman el poliedro, o como las intersecciones de dos caras (líneas donde se unen dos caras).

 3. VÉRTICES (vértices o vertexes). Se pueden definir como los puntos donde se unen tres o más caras o los puntos en los que se cortan las aristas. Según las caras que concurren (que se unen) en un mismo vértice, se distinguen poliedros de orden 3 (3 caras en cada vértice), de orden 4, de orden 5… 

4. ÁNGULOS (angles). Vamos distinguir 2 tipos de ángulos: 

- Diedros / diédricos. Son los ángulos existentes entre dos caras contiguas.

 - Poliedros / poliédricos. Son los ángulos que se forman entre 3 o más caras que se unen en un vértice. Se calcula sumando todos los ángulos diedros de las caras que lo generan, y se da la circunstancia de que siempre medirá menos de 360° . Según el número de caras que lo genere se distinguen varios tipos: 

triedros/triédricos (3 caras en un vértice)

tetraedros/tetraédricos (4 caras)

pentaedros/pentaédricos (5 caras), y así sucesivamente. 

- Superficiales o poligonales. Son los ángulos de los polígonos que forman sus caras (los ángulos de los triángulos, cuadrados…) 

5. DIAGONALES (diagonals). Vamos a distinguir 2 tipos: 

- Diédricas. Son las diagonales del poliedro. Van de un vértice a otro no contiguo. 

- Poliédricas. Son las diagonales de los polígonos que forman el poliedro. Van de un vértice a otro no contiguo del polígono. 

6. ALTURA (hight). Hay dos, para el poliedro y el polígono: 

- Altura del poliedro. Es la distancia desde la base del poliedro a la parte más alta (o a la otra base). Si no se consideran bases, es la distancia entre las dos caras más lejanas del poliedro. Si el poliedro es muy irregular, pueden considerarse distintas alturas, dependiendo de la referencia que se utilice.

- Altura de sus caras. Es la altura de cada uno de los polígonos del poliedro. 

7. APOTEMA (apothem). Igualmente diferenciamos dos: 

- Apotema del poliedro. Es la distancia del centro del poliedro al centro de sus caras (se utiliza para poliedros regulares). 

- Apotema de sus caras. Es la distancia del centro de un polígono al centro de uno de sus lados (se utiliza para polígonos regulares).

para una mayor explicación podemos observar la figura 2 y el video 1.

figura 2: elementos geométricos de los poliedros 

(video 1: de poliedros)

CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS

- Clasificación según su NÚMERO DE CARAS: Para ello, se cuenta el número totales de caras de un poliedro, y se construye su nombre utilizando términos provenientes del griego clásico: tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro… (La primera parte indica el número de caras y la partícula “edro” significa “cara”). Si te fijas, es la misma forma que se utiliza para nombrar a los polígonos según su número de lados. 

- Clasificación según su REGULARIDAD: Se clasifican en poliedros regulares e irregulares. Para que un polígono sea regular, debe tener todas sus caras, aristas y ángulos iguales. Lo que pasa es que solo existen 5 poliedros que tengan estas características. También se les llama SÓLIDOS PLATÓNICOS. 

- Clasificación en convexos y cóncavos: Se considera que un poliedro es convexo si dos puntos cualesquiera del poliedro se pueden unir con una línea que no salga del poliedro. La mayoría de poliedros cóncavos tienen algún ángulo mayor de 180o . Muchos poliedros cóncavos se consideran “poliedros estrellados”. A continuación mostramos un deltaedro convexo y otro deltaedro cóncavo.

 - Clasificación según sus CARAS. Según esto podemos distinguir varias situaciones: 

 · Poliedro de caras regulares: todas sus caras son polígonos regulares (aunque pueden ser polígonos distintos, y ser distintas sus aristas). Aquí se incluyen los 5 sólidos platónicos y otros muchos poliedros.

 · Poliedros de caras uniformes: todas sus caras son iguales (aunque pueden ser polígonos irregulares, o ser su aristas distintas. Aquí se incluyen los 5 sólidos platónicos y otros muchos poliedros. 

- Clasificación según sus aristas: Se denominan poliedros de aristas uniformes a aquellos en los que una arista contiene un par de caras, que son iguales a otro par de caras de cualquier otra arista. 

- Clasificación según sus de vértices: se denominan poliedros de vértices uniformes a aquellos en los que en un vértice convergen el mismo número de caras y en el mismo orden. 

POLIEDROS SEGÚN SU NÚMERO DE CARAS

los poliedros reciben su nombre de acuerdo al número de caras que tenga. (ver figura 3).

figura 3

POLIEDROS REGULARES O SÓLIDOS PLATÓNICOS

 Los poliedros regulares son aquellos poliedros convexos que tienen sus caras, aristas y ángulos iguales. Esta condición solo la cumplen 5 poliedros. ver (figura 4)

Características: 

- Sus caras son o triángulos equiláteros, cuadrados o pentágonos regulares.

 - Sus caras son exactamente iguales. Ello implica que sus aristas y sus ángulos son iguales. 

- Todos ellos pueden estar contenidos dentro de una esfera, de tal forma que la esfera toque a todos sus vértices en un punto. 

- Todos ellos pueden contener dentro una esfera (circunscrita), de tal forma que la esfera toque el centro de cada una de sus caras en un punto. Además, tienen otra esfera que corta a todas sus aristas en el centro. 

- Todos son convexos, ya que existen poliedros con todas sus caras iguales y aristas iguales pero con ángulos distintos.

 - En todos sus vértices concurren el mismo número de caras. 

- Todos tienen simetría axial y simetría especular. 

 Los poliedros regulares son más conocidos como SÓLIDOS PLATÓNICOS (o sólidos de Platón). Además tienen más nombres: cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos.

figura 4

Referencias

(S/f). Com.br. Recuperado el 10 de septiembre de 2024, de https://www.todoestudo.com.br/wp-content/uploads/2020/05/poliedros-5.png

de Poliedros, A. 1. C. (s/f). LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS: concepto y tipos. A. POLIEDROS: concepto y elementos. Yahoo.com. Recuperado el 10 de septiembre de 2024, de https://r.search.yahoo.com/_ylt=AwrFdAt_weBmw3oAhhdU04lQ;_ylu=Y29sbwNiZjEEcG9zAzMEdnRpZAMEc2VjA3Ny/RV=2/RE=1727215231/RO=10/RU=https%3a%2f%2fwww.juntadeandalucia.es%2faverroes%2fcentros-tic%2f21003232%2fhelvia%2fsitio%2fupload%2f20__conoce_las_mates___cuerpos_geometricos.pdf/RK=2/RS=thlRUwQztZ0QLwC5uA5jBpWbsFs-

(S/f-b). Googleusercontent.com. Recuperado el 10 de septiembre de 2024, de https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3nc2VIevfekfA3wfi4hDWzpRT87D3EsPwxrCJjxlFgGfxdHVLhBErkMvDE9xnOFXnnqCr8wdbYxXkLAE-3xsH92vGXV5BSny0ghLq3-HX2uYCS0PcgNsxNVlchqLErCURV100tq1ayt0gIygi-aXl0k3JQe17JANL7Cztcn1rPlxQjskyQRLUWL_0/w520-h640/WhatsApp%20Image%202022-06-08%20at%206.05.12%20PM.jpeg